Формальный анализ понятий (ФАП)
Определение 2.11 Формальный контекст
есть тройка
, где
— множество, называемое множеством объектов,
— множество, называемое множеством признаков,
— отношение.
Отношение
интерпретируется следующим образом: для
,
имеет место
, если объект
обладает признаком
.
Для формального контекста
и произвольных
и
определена пара отображений:
которые задают соответствие Галуа между частично упорядоченными множествами
и
(см. Раздел 2.1.1), а оператор
является оператором замыкания на
— дизъюнктном объединении
и
, т.е. для произвольного
или
имеют место следующие соотношения [1]:
(экстенсивность),
(идемпотентность),
, то
(изотонность).
Множество
называется замкнутым, если
[1].
Определение 2.12 Формальное понятие формального контекста
есть пара
, где
,
,
и
. Множество
называется объёмом, а
— содержанием понятия
.
Очевидно, что объем и содержание произвольного формального понятия являются замкнутыми множествами.
Множество формальных понятий контекста
, которое мы будем обозначать посредством
, частично упорядочено по вложению объёмов: формальное понятие
является менее общим
(более частным), чем понятие
,
, если
, что эквивалентно
(
— обобщение
).
В работе [1] было показано, что подмножества произвольного множества, замкнутые относительно заданной на нем операции замыкания, образуют полную решётку, а в работах [83,33] — что множество всех понятий формального контекста
образует полную решётку.
Определение 2.13 Множество понятий контекста
образует решётку
, где
. и
. Такие решётки называют решётками понятий, или решётками Галуа [33].
Любая полная решётка изоморфна решётке понятий некоторого формального контекста [33]. В качестве объектов этого контекста нужно выбрать
-неразложимые элементы, а в качестве признаков —
-неразложимые элементы исходной решётки. Тогда объект
в контексте будет обладать признаком
, если элемент решётки, соответствующий
.
Определение 2.14 Строчно- (столбцево-) редуцированным называется такой формальный контекст, в котором всякое объектное (признаковое) понятие является
-неразложимым (
-неразложимым). Редуцированным называется формальный контекст, являющийся одновременно строчно- и столбцево-редуцированным.
Определение 2.15 Пусть дан
— формальный контекст и
называется импликацией (на множествах признаков), если
(или
), т.е. все объекты из
, обладающие множеством признаков
, обладают также множеством признаков
.
Аналогичным образом определяются импликации на множествах объектов. Наличие импликации
в контексте
соответствует тому, что в диаграмме решётки
формальное понятие
находится ниже формального понятия
.
Импликации формального контекста удовлетворяют аксиомам Армстронга [33] для произвольных
:
;
то
;
и
то
.
Помимо определённых выше однозначных (one-valued) формальных контекстов в анализе формальных понятий изучаются многозначные (many-valued) контексты:
Определение 2.16 Многозначный формальный контекст есть четвёрка
— множества (объектов, признаков и значений признаков, соответственно), а
— тернарное отношение
признака
причём:
Многозначные признаки могут рассматриваться как отображения
вместо
.
Процедура сведения многозначных контекстов к однозначным называется шкалированием (scaling). Для шкалирования каждый признак многозначного контекста представляется формальным контекстом, называемым шкалой.
Определение 2.17 Шкала для признака
многозначного контекста
есть (однозначный) контекст
такой, что
. Объекты в шкале называются значениями шкалы, а признаки — признаками шкалы.
Определение 2.18 Пусть задан многозначный контекст
и шкалы
, тогда производным контекстом будем называть контекст
, где множество признаков
(
) и отношение
и
.
В нашей работе для построения таксономии алгоритмов использовалось два варианта шкалирования — порядковое шкалирование и номинальное шкалирование. Порядковая шкала
используется для признаков, значения которых упорядочены относительно некоторого порядка
, а обладание объектом некоторым значением признака влечёт обладание всеми меньшими значениями признака. С помощью номинальной шкалы
представляют несравнимые между собой значения признаков, например, цвет.
Возможные виды шкалирования рассмотрены в [33].
Назад Содержание Вперёд
