Формальный анализ понятий (ФАП)
Определение 2.11 Формальный контекст

есть тройка

, где

— множество, называемое множеством объектов,

— множество, называемое множеством признаков,

— отношение.
Отношение

интерпретируется следующим образом: для

,

имеет место

, если объект

обладает признаком

.
Для формального контекста

и произвольных

и

определена пара отображений:

которые задают соответствие Галуа между частично упорядоченными множествами

и

(см. Раздел 2.1.1), а оператор

является оператором замыкания на

— дизъюнктном объединении

и

, т.е. для произвольного

или

имеют место следующие соотношения [1]:

(экстенсивность),

(идемпотентность),

, то

(изотонность).
Множество

называется замкнутым, если

[1].
Определение 2.12 Формальное понятие формального контекста

есть пара

, где

,

,

и

. Множество

называется объёмом, а

— содержанием понятия

.
Очевидно, что объем и содержание произвольного формального понятия являются замкнутыми множествами.
Множество формальных понятий контекста

, которое мы будем обозначать посредством

, частично упорядочено по вложению объёмов: формальное понятие

является менее общим
(более частным), чем понятие

,

, если

, что эквивалентно

(

— обобщение

).
В работе [1] было показано, что подмножества произвольного множества, замкнутые относительно заданной на нем операции замыкания, образуют полную решётку, а в работах [83,33] — что множество всех понятий формального контекста

образует полную решётку.
Определение 2.13 Множество понятий контекста

образует решётку

, где

. и

. Такие решётки называют решётками понятий, или решётками Галуа [33].
Любая полная решётка изоморфна решётке понятий некоторого формального контекста [33]. В качестве объектов этого контекста нужно выбрать

-неразложимые элементы, а в качестве признаков —

-неразложимые элементы исходной решётки. Тогда объект

в контексте будет обладать признаком

, если элемент решётки, соответствующий


.
Определение 2.14 Строчно- (столбцево-) редуцированным называется такой формальный контекст, в котором всякое объектное (признаковое) понятие является

-неразложимым (

-неразложимым). Редуцированным называется формальный контекст, являющийся одновременно строчно- и столбцево-редуцированным.
Определение 2.15 Пусть дан

— формальный контекст и


называется импликацией (на множествах признаков), если

(или

), т.е. все объекты из

, обладающие множеством признаков

, обладают также множеством признаков

.
Аналогичным образом определяются импликации на множествах объектов. Наличие импликации

в контексте

соответствует тому, что в диаграмме решётки

формальное понятие

находится ниже формального понятия

.
Импликации формального контекста удовлетворяют аксиомам Армстронга [33] для произвольных

:

;

то

;

и

то

.
Помимо определённых выше однозначных (one-valued) формальных контекстов в анализе формальных понятий изучаются многозначные (many-valued) контексты:
Определение 2.16 Многозначный формальный контекст есть четвёрка




— множества (объектов, признаков и значений признаков, соответственно), а

— тернарное отношение


признака

причём:



Многозначные признаки могут рассматриваться как отображения


вместо

.
Процедура сведения многозначных контекстов к однозначным называется шкалированием (scaling). Для шкалирования каждый признак многозначного контекста представляется формальным контекстом, называемым шкалой.
Определение 2.17 Шкала для признака

многозначного контекста

есть (однозначный) контекст

такой, что

. Объекты в шкале называются значениями шкалы, а признаки — признаками шкалы.
Определение 2.18 Пусть задан многозначный контекст

и шкалы

, тогда производным контекстом будем называть контекст

, где множество признаков

(

) и отношение

и

.
В нашей работе для построения таксономии алгоритмов использовалось два варианта шкалирования — порядковое шкалирование и номинальное шкалирование. Порядковая шкала

используется для признаков, значения которых упорядочены относительно некоторого порядка

, а обладание объектом некоторым значением признака влечёт обладание всеми меньшими значениями признака. С помощью номинальной шкалы

представляют несравнимые между собой значения признаков, например, цвет.
Возможные виды шкалирования рассмотрены в [33].
Назад Содержание Вперёд